L3 | Parcours Mathématiques

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Contenu de l'enseignement

• Sous-espaces stables par un endomorphisme linéaire, valeurs propres, vecteurs propres. Diagonalisation,
• Polynômes d’endomorphismes. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal. Théorème de Cayley-Hamilton. Théorème de décomposition des noyaux.
• Formes bilinéaires. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques.
• Diagonalisation des matrices symétriques réelles.
• Produit scalaire et espace euclidien. Groupe orthogonal.
• Décomposition d’une forme quadratique en somme de carrés. Méthode de Gauss. Théorème d’inertie de Sylvester.
• Classification affine et euclidienne.

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Contenu de l’enseignement

• L’espace vectoriel normé R^n.
• Fonctions différentiables.
• Inégalité des accroissements finis.
• Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale. Difféomorphismes.
• Application à l’étude des courbes et des surfaces.
• Théorème de Schwarz.
• Extrema locaux et extrema liés.

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Contenu de l’enseignement

• Dénombrabilité

Ensembles équipotents, dénombrabilité de N, Z et Q, produit fini d’ensembles dénombrables, réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, non dénombrabilité de R. Exemples d’application.

• Rappels sur l’intégrale de Riemann

Sommes de Riemann, intégrabilité au sens de Riemann, propriétés de l’intégrale (linéarité, positivité), caractérisation des fonctions intégrables (admis). Théorème fondamental du calcul intégral, primitives. Révision des techniques de calcul : intégration par parties, changement de variable, primitives des fractions rationnelles.

• Intégrale de Lebesgue
  • Intégrale des fonctions mesurables positives sur un espace mesuré quelconque : construction, linéarité, positivité, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou.
  • Intégrabilité au sens de Lebesgue, ensemble négligeables, propriétés vraies presque partout, théorème de convergence dominée, espace L¹, complétude, théorème de continuité et de dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
  • Mesure et intégrale de Lebesgue sur R, lien avec l’intégrale de Riemann.
  • Intégration dans les espaces produits : mesure produit, théorème de Fubini, mesure de Lebesgue sur R^n.
  • Théorème de changement de variables dans R^n, systèmes de coordonnées classiques, application au calcul d’aires et de volumes.

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Contenu de l’enseignement

• Définitions générales : anneau, morphisme d’anneaux, noyau, image, idéaux.
• Les exemples classiques : Z, Z/nZ, A[X], corps.
• Algorithme d’Euclide, théorème de Bezout, PGCD, PPCM.
• Idéaux premiers, éléments irréductibles, factorisation.
• Anneaux quotients.

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Contenu de l’enseignement

• Espaces affines, sous-espaces, repères affines.
• Applications affines.
• Théorèmes classiques de géométrie affine (Thales, Pappus, Desargues).
• Orthogonalité, théorème de Pythagore, projections orthogonales.
• Groupe des isométries (en petite dimension).

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Contenu de l’enseignement

• Espaces probabilisés

Lois de probabilité sur un univers fini ou dénombrable, lois classiques. Axiomatique de Kolmogorov : tribus, mesures de probabilité, propriétés de continuité, premier lemme de Borel-Cantelli. Mesures de probabilité sur R, fonction de répartition, mesures à densité.

• Variables et vecteurs aléatoires

Rappels de mesurabilité, opérations sur les vecteurs aléatoires. Lois des vecteurs aléatoires, fonction de répartition, densité, lois marginales, calcul de la loi d’une transformée déterministe d’un vecteur aléatoire.

• Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle, formule de Bayes. Événements indépendants, second lemme de Borel-Cantelli. Variables aléatoires indépendantes, critère d’indépendance des coordonnées d’un vecteur à densité.

• Espérance, variance et autres moments

Rappels d’intégration : propriétés de l’intégrale, principaux théorèmes de passage à la limite. Espérance, théorème de transfert, espérance d’un produit de v.a. indépendantes. Variance, espace L² : inégalité de Cauchy-Schwarz, covariance, variance d’une somme de variables aléatoires. Fonction caractéristique : injectivité, fonctions caractéristiques des lois classiques, application au calcul des moments, indépendance et fonction caractéristique, application au calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes.

• Loi des grands nombres

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Chebychev, loi faible des grands nombres, première approche des intervalles de confiance, convergence en probabilité. Convergence presque sûre, critères de convergence presque sûre, lien avec la convergence en probabilité, loi forte des grands nombres.

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Contenu de l’enseignement

• Équation différentielle de la forme x’ = f(x,t).
• Champ de vecteurs associé.
• Problème de Solutions locales, maximales et globales. Courbe intégrale. Trajectoire. Théorème de Cauchy-Lipschitz.
• Résolution des cas classiques d’équations différentielles : variables séparables, équations linéaires scalaires de degré n à coefficients constants, systèmes d’équations linéaires de degré 1 à coefficients constants.
• Classification des systèmes linéaires à coefficients constants de deux variables – portrait de phase.
• Cas des équations différentielles linéaires.
• Étude qualitative des solutions.

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Contenu de l’enseignement

• Résolution numérique des équations f(x)=0.
• Intégration numérique.
• Résolution numérique des équations différentielles ordinaires et applications.
• Application à des équations différentielles ordinaires issues d’autres disciplines.
• Mise en œuvre des algorithmes sous Python.

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Contenu de l’enseignement

• Groupes, sous-groupes, sous-groupes distingués, groupe quotient.
• Groupe de permutations : décomposition en produit de cycles, signature.
• Exemples de groupes issus de la géométrie.
• Classification des groupes abéliens finis.
• Action de groupe, stabilisateur, orbites, formule des classes.

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Travail pour binôme sur un article de mathématiques, donnant lieu à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance orale.

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