Bloc Mathématiques

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Complexité d’un algorithme ; conditionnement d’une matrice ; rayon spectral ; systèmes linéaires, résolution directe : méthodes de Gauss, factorisation LU et PLU, méthode de Cholesky, méthode QR ; moindres carrés ; systèmes linéaires, résolution itérative : méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel ; décompositions en valeurs propres et en valeurs singulières (SVD), recherche des valeurs propres : méthode de Jacobi, méthode QR, méthode des puissances. 

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Programmation non-linéaire ; fonctions convexes en une et plusieurs variables ; optimisation sans contraintes ; méthode de descente de gradient ; méthode utilisant la hessienne (basée sur la méthode de Newton-Raphson pour résoudre une équation non-linéaire) ; multiplicateurs de Lagrange ; optimisation avec contraintes larges ; méthode de Karush-Kuhn-Tucker ; méthode de pénalisation (du point intérieur). 

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Rappels de statistique descriptive ; modélisation statistique ; estimation ponctuelle ; propriétés des estimateurs ; information de Fisher ; estimation de variance minimale ; tests d’hypothèse par rapport des vraisemblances et par intervalles de confiance ; échantillons gaussiens ; introduction à la statistique bayésienne ; analyse des données (ACP et AFC). 

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Compléments de probabilité : convergence de suites de variables aléatoires (presque sûre, en probabilité, en loi), loi conditionnelle (cas discret ou continu), introduction à l’espérance conditionnelle. 

Chaînes de Markov : chaînes de Markov à espace d’états fini ou dénombrable, définition et propriétés élémentaires, classification des états, temps d’arrêt et propriété de Markov forte, récurrence et transience, lois invariantes, temps d’atteinte, convergence à l’équilibre, théorème ergodique. Application à des modèles classiques (marches aléatoires, ruine du joueur, Ehrenfest, TCP, Wright-Fisher, …) 

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Simulation : modélisation et simulation numérique d’une v.a. de loi classique donnée, d’une suite de v.a. indépendantes. Modélisation et simulation d’une chaîne de Markov, de sa loi invariante. Illustration des convergences p.s. et en probabilité et des théorèmes de convergence à l’aide des simulations : loi des grands nombres, théorème limite central, théorèmes ergodiques pour les chaînes de Markov. Méthodes de Monte Carlo, notions sur les vitesses de convergence. Mise en pratique avec R. 

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