Calcul intégral et applications

> Dénombrabilité : ensembles équipotents, dénombrabilité de N, Z et Q, produit fini d’ensembles dénombrables, réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, non dénombrabilité de R. Exemples d’application.
A) Rappels sur l’intégrale de Riemann :
Sommes de Riemann, intégrabilité au sens de Riemann, propriétés de l’intégrale (linéarité, positivité), caractérisation des fonctions intégrables (admis). Théorème fondamental du calcul intégral, primitives. Révision des techniques de calcul : intégration par parties, changement de variable, primitives des fractions rationnelles.
B) Intégrale de Lebesgue :
― Intégrale des fonctions mesurables positives sur un espace mesuré quelconque : construction, linéarité, positivité, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou.
― Intégrabilité au sens de Lebesgue, ensemble négligeables, propriétés vraies presque partout, théorème de convergence dominée, espace L¹, complétude, théorème de continuité et de dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
― Mesure et intégrale de Lebesgue sur R, lien avec l’intégrale de Riemann.
― Intégration dans les espaces produits : mesure produit, théorème de Fubini, mesure de Lebesgue sur R^n.
― Théorème de changement de variables dans R^n , systèmes de coordonées classiques, application au calcul d’aires et de volumes.