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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Algèbre linéaire et bilinéaire P11 (CM, TD) et Algèbre linéaire et bilinéaire P12 (CM, TD)

Contenu de l'enseignement :

Réduction des endomorphismes : polynômes d’endomorphismes, réductions de Jordan et Dunford, trigonalisation. Ensuite algèbre bilinéaire : Décomposition d’une forme quadratique en somme de carrés, algorithme de Gram-Schmidt, théorème d’inertie de Sylveste

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Topologie et calcul différentiel P11 (CM, TD) et Topologie et calcul différentiel P12 (CM,TD)

Contenu de l'enseignement :

Les espaces normés, les notions topologiques : les sous-ensembles ouverts et fermés, les espaces compacts, connexes, connexes par chemins.
On utilise ces notions pour développer les
notions de limites, continuité, différentiabilité des fonctions de plusieurs variables.

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Calcul intégral et applications P11 (CM, TD) et Calcul intégral et applications P12 (CM, TD)

Contenu de l'enseignement :

- Révision des techniques de calcul : intégration par parties, changement de variable, primitives des fractions rationnelles.

- Intégrale de Lebesgue :

*Dénombrabilité : ensembles équipotents, dénombrabilité de N, Z et Q, produit fini d’ensembles dénombrables, réunion dénombrable d’ensembles dénombrables.

*Intégrale des fonctions mesurables positives sur un espace mesuré quelconque : construction, linéarité, positivité, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou.

* Intégrabilité au sens de Lebesgue, ensemble négligeables, propriétés vraies presque partout, théorème de convergence dominée, espace L1, complétude, théorème de continuité et de dérivation d’une intégrale
dépendant d’un paramètre.

*Mesure et intégrale de Lebesgue sur R, lien avec l’intégrale de Riemann.

*Intégration dans les espaces produits : mesure produit, théorème de Fubini, mesure de Lebesgue sur Rn.

*Théorème de changement de variables dans Rn, systèmes de coordonnées classiques, application au calcul d’aires et de volumes.

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Groupes P11 (CM,TD) et Groupes P12 (CM, TD).

Contenu de l’enseignement
― Groupes, sous-groupes, sous-groupes distingués, groupe quotient.
― Groupe de permutations : décomposition en produit de cycles, signature.
― Exemples de groupes issus de la géométrie.
― Classification des groupes abéliens finis.
― Action de groupe, stabilisateur, orbites,formule des classes.

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Probabilités P13 (CM,TD) et Probabilités P14 (CM,TD)

Contenu de l'enseignement : 

― Espaces probabilisés
Lois de probabilité sur un univers fini ou dénombrable, lois classiques. Axiomatique de Kolmogorov : tribus, mesures de probabilité, propriétés de continuité, premier lemme de
Borel-Cantelli. Mesures de probabilité sur fonction de répartition, mesures à densité.
― Variables et vecteurs aléatoires
Rappels de mesurabilité, opérations sur les vecteurs aléatoires. Lois des vecteurs aléatoires, fonction de répartition, densité, lois marginales, calcul de la loi d’une transformée déterministe d’un vecteur aléatoire.
― Probabilité conditionnelle et indépendance
Probabilité conditionnelle, formule de Bayes. Evénements indépendants, second lemme de Borel-Cantelli. Variables aléatoires indépendantes, critère d’indépendance des coordonnées d’un vecteur à densité.
― Espérance, variance et autres moments
Rappels d’intégration : propriétés de l’intégrale, principaux théorèmes de passage à la limite. Espérance, théorème de transfert, espérance d’un produit de v.a.indépendantes. Variance, espace L² : inégalité de Cauchy-Schwarz, covariance, variance d’une somme de variables aléatoires. Fonction caractéristique : injectivité, fonctions caractéristiques des lois classiques, application au
calcul des moments, indépendance et fonction caractéristique, application au calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes.
― Loi des grands nombres
Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Chebychev, loi faible des grands nombres, première approche des intervalles de confiance, convergence en probabilité. Convergence presque sûre, critères de convergence presque sûre, lien avec la convergence en probabilité, loi forte des grands nombres.

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Calcul différentiel 2 et équations différentielles P13 (CM,TD) et Calcul différentiel 2 et équations différentielles P14 (CM,TD)

Contenu de l'enseignement : 

Calcul différentiel
- Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale.
Théorème d’inversion locale.Difféomorphismes.
- Application à l’étude des courbes et des surfaces.
- Extrema locaux et extrema liés

 Équations différentielles :
— Équations différentielles de la forme x’ = ƒ(x; t).
— Champ de vecteurs associé.
— Problème de Cauchy
— Solutions locales, maximales et globales.
— Courbe intégrale.
— Trajectoire
— Théorème de Cauchy-Lipschitz
— Classification des systèmes linéaires à
coefficients constants de deux variables –portrait de phase.
— Cas des équations différentielles linéaires.
— Étude qualitative des solutions. 

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Anneaux P13 (CM, TD) et Anneaux P14 (CM,TD)

Contenu de l'enseignement : 

― Définitions générales : anneau, morphisme d’anneaux, noyau, image, idéaux.
― Les exemples classiques : , /n , A[X], corps.
― Rappels sur l’Algorithme d’Euclide, théorème de Bezout, PGCD, PPCM.
― Idéaux premiers, éléments irréductibles, factorisation.
― Anneaux quotients.

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