UE3 - Anneaux

Programme

Anneaux commutatifs, intègres, corps, corps de fractions, notion de caractéristique, sous-anneaux, homomorphisme d’anneaux.

Exemples d’anneaux classiques : Z, Z/nZ, A[X], Z[i], anneaux d’endomorphismes et de séries formelles et de Laurent.

Idéaux et leurs propriétés, idéaux premiers et maximaux, anneaux quotients, principaux et noethériens.

Propriétés arithmétiques des anneaux : divisibilité, inversibilité, éléments associés, factorisation, pgcd, ppcm, éléments premiers et irréductibles. Groupe des unités d’un anneau. Anneaux factoriels et euclidiens.

Propriétés des anneaux classiques.

En se centrant sur des exemples concrets (Z, k[x], k[x,y] et leurs quotients) introduire les concepts usuels liés aux anneaux et montrer leur pertinence pour résoudre divers problèmes d’arithmétique.

Familiarité avec les anneaux classiques Z et k[t].