UE9 - Groupe de Matrices / Représentation des groupes finis

Contenu :

Éléments de topologie pour GL(n, R) et SL(n, R) (connexité et densité des inversibles et des diagonalisables). Idem sur C.
Décomposition polaire de GL(n,R) et GL(n,C).
L’exponentielle d’une matrice carrée (diagonalisable ssi l’exponentielle l’est)
L’étude sur des exemples de l’algèbre de Lie et de l’application exponentielle dans les cas suivants,:
― GL(n) et SL(n) ; l’exponentielle de sl(2, C) dans SL(2,C) n’est pas surjective.
― SU(2) ; représentation matricielle des nombres complexes (SU(2) est la sphère S3 via les quaternions).
― SO(3) ; quaternions et rotations de l’espace,; l’algèbre de Lie so(3) et le produit vectoriel dans R3.
― Rotations de R4 et paires de quaternions. Produits directs et homomorphisme de SU(2)xSU(2) dans SO(4).
Liaison entre sous-groupes distingués et idéaux de l’algèbre de Lie (admise dans le cas général et établie pour les exemples considérés) ; application à la simplicité de SO(3), SO(n) avec n impair, et la non simplicité de SO(4).

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Représentations et actions. Représentations matricielles. G-modules et algèbre d’un groupe fini.
Réductibilité et théorème de Maschke. G-homomorphismes et le lemme de Schur.
Exemples de représentations irréductibles de S3 et de S4.
Caractères. Produit scalaire des caractères. Décomposition de l’algèbre d’un groupe fini.
Classification des représentations irréductibles de S3, S4, S5, Dn.
Représentations par restriction et représentations induites ; représentations de A4 et A5.

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