Master | Mathématiques et applications

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Contenus :

Complexité d’un algorithme ; conditionnement d’une matrice ; rayon spectral ; théorème de Schur ; systèmes linéaires, résolution directe : méthodes de Gauss, factorisation LU et PLU, méthode de Cholesky, méthode QR ; moindres carrés ; systèmes linéaires, résolution itérative : méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel, méthodes de gradient ; décompositions en valeurs propres et en valeurs singulières (SVD) : méthode de Jacobi, méthode QR, méthode des puissances. 

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Contenu :

Programmation non-linéaire ; fonctions convexes en une et plusieurs variables ; optimisation sans contraintes ; méthode de descente de gradient ; méthode utilisant la hessienne (basée sur la méthode de Newton-Raphson pour résoudre une équation non-linéaire) ; multiplicateurs de Lagrange ; optimisation avec contraintes larges ; méthode de Karush-Kuhn-Tucker ; méthode de pénalisation (du point intérieur)

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Contenu

Rappels de statistique descriptive ; modélisation statistique ; estimation ponctuelle ; propriétés des estimateurs ; information de Fisher ; estimation de variance minimale ; tests d’hypothèse par rapport des vraisemblances et par intervalles de confiance ; échantillons gaussiens ; introduction à la statistique bayésienne ; analyse des données (ACP et AFC). 

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Compléments de probabilité : convergence de suites de variables aléatoires (presque sûre, en probabilité, en loi), loi conditionnelle (cas discret ou continu), introduction à l’espérance conditionnelle. 

Chaînes de Markov : chaînes de Markov à espace d’états fini ou dénombrable, définition et propriétés élémentaires, classification des états, temps d’arrêt et propriété de Markov forte, récurrence et transience, lois invariantes, temps d’atteinte, convergence à l’équilibre, théorème ergodique. Application à des modèles classiques (marches aléatoires, ruine du joueur, Ehrenfest, TCP, Wright-Fisher, …) 

Contenu

Simulation : modélisation et simulation numérique d’une v.a. de loi classique donnée, d’une suite de v.a. indépendantes. Modélisation et simulation d’une chaîne de Markov, de sa loi invariante. Illustration des convergences p.s. et en probabilité et des théorèmes de convergence à l’aide des simulations : loi des grands nombres, théorème limite central, théorèmes ergodiques pour les chaînes de Markov. Méthodes de Monte Carlo, notions sur les vitesses de convergence. Mise en pratique avec R. 

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― Développement logiciel : introduction au génie logiciel, environnement de développement (git). 

― Python : modules, espaces de nommage, environnements virtuels, containers (modules collections et itertools), manipulation de fichiers, traitements de données (module pandas), représentation graphique (modules seaborn, plotly et dash), etc. 

― Programmation objet : principe de la POO, mise en pratique en Python. 

― Réalisation d’un projet avec soutenance orale et/ou rapport. 

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Contenu

― Mise à niveau Python (6h) facultative commune avec le M1 MFA. 

― Mise à niveau R (6h) facultative. 

― Système Unix/Linux et connaissance du réseau du laboratoire : organisation du système de fichiers, shell protocoles réseau (4h). 

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Contenu :

― Permettre aux étudiants de continuer à travailler les cinq compétences en langue - compréhension écrite et orale, expression écrite et orale, et interaction orale - à travers des supports authentiques (articles, documentaires, documents audio et vidéo d’internet, graphiques…) et des activités variées (exercices de compréhension, d’expression écrite, jeux de rôle, débats, présentations orales…). 

― Étoffer les connaissances lexicales. 

― Améliorer la prononciation et revoir certains points de langue le cas échéant. 

― Valider à l’issue du 2ème voire 3ème semestre un niveau B2 du CECRL (Certification). 

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Ce cours concerne l’apprentissage de Latex, outil de communication scientifique largement utilisé, en particulier dès le semestre 2 pour le rapport du TER. Une partie de cet enseignement est en autoformation en salle informatique. Il pourra avoir lieu au semestre 2, selon les disponibilités et les besoins. 

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Ce cours a pour objet, à travers des grands thèmes du Droit de l’univers numérique, d’aborder les problèmes que les étudiants pourront rencontrer durant leur vie professionnelle, à l’occasion de la mise en place ou de l’exploitation ou encore de l’administration d’un système informatique. 

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Principaux concepts du datamining ; analyse des données (ex : ACM, AFM, MDS) ; classification supervisée (k-plus proches voisins, analyse discriminante, arbres de décision, SVM, etc.) ; courbes ROC et AUC ; classification non-supervisée (k-means, classifications hiérarchiques, DBSCAN, etc.) ; mise en pratique sous R et/ou Python. 

Remarque : note plancher de 8/20, sauf appréciation contraire du jury.

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Contenu :

Régression linéaire (simple/multiple) ; analyse de variance (1F/2F) ; analyse de covariance ; effets aléatoires et effets mixtes ; régression logistique ; régression PLS ; modèle linéaire généralisé ; principe de la validation croisée et indicateurs de qualité (AIC, BIC, etc.) 

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Chaînes de Markov en temps continu : Définition et propriétés. Temps d’atteinte, temps d’absorption. Lois invariantes et convergence à l’équilibre. Exemples du processus de Poisson, du processus de Poisson composé, du processus de naissance et mort et des processus de files d’attente. Etude du cas général des processus de branchement. Applications à des modèles de croissance de population. Processus de Poisson composé avec drift et applications à des modèles de ruine. 

Simulations : Simulations sous Python de chaînes de Markov en temps continu. Simulation de la loi invariante, du temps d’absorption. Modélisation de problèmes de ruine et de croissance de populations. 

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Contenu :

― Bases de données relationnelles : définition ; principes des bases de données relationnelles ; utiliser/installer un SGBD (ex : MariaDB ou postgresql) ; le langage SQL ; interagir avec une base de données relationnelle ; les ORM (mappings objet-relationnel) Python (ex : SQLalchemy). 

― Données textuelles : encodage, traitement sous Unix. 

― XML, JSON. 

― Interaction avec le Web (ex : ORM Django). 

― Réalisation d’un projet avec soutenance orale et/ou rapport. 

Remarque : note plancher de 8/20, sauf appréciation contraire du jury. 

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― Permettre aux étudiants de continuer à travailler les cinq compétences en langue - compréhension écrite et orale, expression écrite et orale, et interaction orale - à travers des supports authentiques (articles, documentaires, documents audio et vidéo d’internet, graphiques…) et des activités variées (exercices de compréhension, d’expression écrite, jeux de rôle, débats, présentations orales…). 

― Étoffer les connaissances lexicales. 

― Améliorer la prononciation et revoir certains points de langue le cas échéant. 

― Valider à l’issue du 2ème voire 3ème semestre un niveau B2 du CECRL (Certification). 

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Remarque : cette UE est gérée par le SUIO-IP. 

Rédaction de CV et préparation aux entretiens d’embauche (pour un stage, une alternance, un emploi, etc.) Découverte du milieu professionnel. 

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Le Travail Encadré de Recherche (TER) est un travail de 4-5 mois réalisé en laboratoire par l’étudiant ou par un binôme d’étudiants. Encadré par un enseignant tuteur, il donne lieu à la rédaction d’un rapport et à une soutenance orale pouvant être faite en anglais. Ce travail met en œuvre les connaissances théoriques acquises pendant l’année sur des problèmes concrets, préférentiellement en liaison avec l’option choisie et issus de questions intéressant des partenaires des milieux professionnels. Les documents d’appui peuvent être des textes en anglais, ce qui participe de la pratique de l’anglais scientifique et technique. Dans certains cas, le sujet du TER peut être mis en relation avec le stage facultatif. 

On autorise la pédagogie inversée, le TER peut être l’occasion de présenter à la classe une méthode statistique évoluée et non étudiée en cours. 

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Il est possible de réaliser un stage facultatif. Il est obligatoirement conventionné et, en particulier, il est soumis à l’appréciation du responsable de la formation. Ce stage ne donne pas lieu à une notation et n’est affecté d’aucun ECTS. Le stage est idéalement placé en fin d’année académique (de fin mai à fin août), il est à l’initiative exclusive de l’étudiant qui souhaite valoriser son cursus académique. Ce type de stage est recommandé pour les étudiants souhaitant accomplir la deuxième année de master en alternance. 

Dans ce même cadre, un stage à l’international d’étude et de perfectionnement en langue étrangère est recommandé. Se renseigner (très tôt) sur l’ensemble des partenariats entre l’Université d’Angers et d’autres universités. 

Il sera demandé aux étudiants concernés de résumer en quelques lignes le déroulement du stage au responsable de la formation, mais ni rapport ni soutenance ne seront exigés. 

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Remarque : cette UE est optionnelle, elle est assurée par des intervenants biologistes. 

Cet enseignement vise à donner les notions de base en biologie afin de comprendre les concepts de la biologie moderne nécessitant des développements mathématiques en modélisation et en statistique. 

― Introduction aux notions de base en biologie cellulaire et moléculaire : 

― Composition moléculaire du vivant. 

― La cellule eucaryote et procaryote. 

― Reproduction sexuée et hérédité. 

― Des gènes aux protéines. 

― La génomique et les données omiques :  

• Introduction aux méthodes NGS (Next Generation Sequencing). 
• Génomique : séquençage de génomes complets (NGS) ; prédiction de gènes ; annotation structurale des génomes ; annotation fonctionnelle des génomes. 
• Transcriptomique et épigénomique : expression des gènes et régulation de leur expression. 

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Remarque : cette UE est optionnelle, elle est assurée par des intervenants économistes et mutualisée avec le M1 Économie Appliquée parcours IDEE. 

Analyse en composantes principales, analyse factorielle des correspondances, analyse des correspondances multiples, analyse factorielle multiple, analyse sur données mixtes, classification hiérarchique, régressions sur composantes principales, Moindres Carrés Partiels. 

Ce cours d’analyse de données avancée et de statistiques multivariées présente les méthodes dont l’objectif principal est de simplifier la complexité des bases de données statistiques en mettant en évidence les corrélations entre les variables, les ressemblances entre les individus, et en perdant le moins possible d’information expliquée. Un lien est ensuite fait avec les cours d’économétrie par la présentation (sur R et sur SAS) des modèles de régressions sur variables latentes (PCR et PLS) qui permettent notamment de corriger les biais de multi-colinéarité entre les variables. 

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Bases mathématiques de l’apprentissage statistique. Bases de la grande dimension (« fléau » de la dimension…). Régression en grande dimension (motivation par l’exemple, théorie du Lasso, seuillage, sparsité, inégalités classiques, régressions ba- sées sur les composantes principales, PLS). Méthodes de pénalisation (généralisation du Lasso (Elastic-Net, Group-Lasso), sélection de variables, Ridge, etc.). Classification et apprentissage en grande dimension (SVM, Logistic-Lasso, forêts aléatoires, k plus proches voisins, ACP à noyaux, Boosting, Gradient Boosting). Introduction aux réseaux de neurones et au deep learning. Bases de l’optimisation stochastique. Large mise en pratique avec R ou Python.

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Analyse du signal, motivations, exemples
Series de Fourier, Transformée de Fourier
Filtres FIR (Réponse Impulsionnelle Finie) et IIR (Réponse Impulsion Infinie) –
Impulsion – convolution
Transformation en Z – Application à la stabilité des filtres
Problèmes d’aliasing
Application à des signaux temporels de natures diverses

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Décomposition des séries chronologiques (modèles additif et multiplicatif, filtrage linéaire). Processus aléatoires discrets (bruit blanc, loi d’un processus, espace L²). Stationnarité (sens fort, sens faible). Processus linéaires (opérateurs chronologiques, bruit d’innovation, causalité, ACF/PACF). Étude détaillée des processus ARMA. Inférence dans les processus ARMA. Introduction à la non-stationnarité (ARIMA-SARIMA) et à l’hétéroscédasticité (ARCH-GARCH). Application à la prévision (meilleur prédicteur linéaire, lissages exponentiels). Introduction à la statistique spatiale (krigeage). Large mise en pratique avec R et Python.

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Concepts et les enjeux du Big Data
Technologies du Big Data :
— Architecture et composants de la plateforme Hadoop.
— Modes de stockage (NoSQL, HDFS).
— Principes de fonctionnement de MapReduce.
— Programmation concurrente (générateurs, multi-threading, multi-processing, asynchronisme).
— Web services.
— Nase de data visualisation.
Gérer les données structurées et non structurées :
— Principes de fonctionnement HDFS.
— Importer des données externes vers HDFS.
— Réaliser des requêtes SQL avec HIVE.
— Utiliser PIG pour traiter la donnée.
Les méthodes d’analyse des données pour le Big Data (en liaison avec S3-UE1-DS) :
— Les méthodes d’exploration.
— Segmentation et classification.
— Estimation et prédiction.
— Implémentation des modèles.
— Méthodes de réduction de dimensions.

Introduction au MLOps : Mise en production ou déploiement d’un modèle de Machine Learning.
— Aspects techniques d’un déploiement.
— Mise en pratique : déploiement d’une API Web avec Flask.
— Maintenance post-déploiement : logging, model drift, qualité des données.
— Prérequis d’un déploiement réussi : versionnage, tests unitaires, bonnes pratiques de code, etc.
— Vue d’ensemble des métiers et logiciels liés au MLOps.

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— Permettre aux étudiants de continuer à travailler les cinq compétences en langue - compréhension écrite et orale, expression écrite et orale, et interaction orale - à travers des supports authentiques (articles, documentaires, documents audio et vidéo d’internet, graphiques…) et des activités variées (exercices de compréhension, d’expression écrite, jeux de rôle, débats, présentations orales…).
— Étoffer les connaissances lexicales.
— Améliorer la prononciation et revoir certains points de langue le cas échéant.
—Valider à l’issue du 3ème semestre un niveau B2 du CECRL (par le biais d’une certification).

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—Techniques de communication - Préparation au travail en groupe : Les fonctions de l’animateur ; Conduite de réunions - Techniques de rédaction des documents — Techniques de présentation orale - La recherche d’emploi : Lettres de candidature ; Curriculum vitae ; Entretien de candidature.

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Le problème des données manquantes est fréquemment rencontré dans un grand nombre de domaines d’applications statistiques. Dans le cadre de la biologie, il n’est pas rare que l’acquisition de données de suivi soit en partie incomplète : pour un essai thérapeutique, le temps de rémission puis de guérison d’un patient peut être trop long et donc jamais observé, on parle alors de données censurées. Dans ce cours, nous introduirons la méthodologie (fonction de survie, risque instantané, …) et les outils statistiques (estimateur de Kaplan-Meier, Nelson-Aalen, …) qui permettent d’appréhender ce genre de problèmes. Une implémentation sur R sera aussi proposée.

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Les méthodes génératives profondes suscitent depuis récemment un très grand intérêt dans la société, pour les impressionnantes capacités que ces outils (e.g., Dall-E, ChatGPT, SORA) démontrent, en terme de qualité de contenu produit et d’interprétation des besoins de l’utilisateur. L’objectif de ce cours est de découvrir les concepts fondamentaux sous-jacents au fonctionnement de ces applications puissantes, en commençant par quelques fondamentaux sur l’apprentissage génératif, et les méthodes modernes pour guider cet apprentissage (VAE, VQ-VAE, GAN, Diffusion, apprentissage contrastif, etc.). L’idée de l’apprentissage génératif est de reproduire des distributions de données dont on observe des échantillons en apprentissage, ce cours se confronte à cet objectif ambitieux pour des distributions de données complexes, tels que des images ou du texte. Nous examinerons notamment comment les transformeurs révolutionnent la génération de texte en capturant des dépendances long terme, permettant d’envisager un très large spectre d’applications guidées par le langage. Nous explorerons comment l’apprentissage par imitation peut être utilisé pour générer des données en imitant des comportements ou des styles spécifiques.Enfin, nous verrons comment l’apprentissage par renforcement peut guider la génération de contenu créatif en optimisant les actions pour maximiser une récompense donnée.

1. Concepts Fondamentaux de l’Apprentissage Génératif
— Exploration des principes de base de l’apprentissage génératif.
— Présentation des grandes familles d’algorithmes d’apprentissage génératif: VAE (et VQ-VAE), GANs, modèles de diffusion, apprentissage contrastif, etc.

2. Architectures neuronales profondes pour la prise en compte de dépendances long terme
— Différentes familles d’architectures profondes : MLP, CNNs, RNNs, Transformers
— Applications pour la générations de données complexes
— Modèles de fondation guidés par le langage: techniques d’adaptation (in-context learning, LORA, mixture d’experts, etc.)

3. Apprentissage par Imitation et par Renforcement pour la Génération de Contenu
— Exploration de l’utilisation de l’apprentissage par renforcement pour guider la génération de contenu, en optimisant les actions pour maximiser une récompense donnée (e.g., RLHF)
— Apprentissage par imitation hors ou en ligne (BC, AWR, GAIL, iQL, etc.)

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Dans le contexte de l’apprentissage automatique, l’apprentissage supervisé est souvent privilégié pour sa capacité à prédire des étiquettes ou des valeurs cibles à partir de données d’entraînement étiquetées. Cependant, ces données sont souvent difficiles à obtenir, et les modèles qui en résultent sont limités par la qualité et le domaine de cette supervision. Lorsque l’étiquetage est trop complexe ou trop coûteux à collecter, au regard de la variété des situations auxquelles l’agent décisionnel peut être confronté, l’apprentissage par renforcement offre une alternative prometteuse. L’apprentissage par renforcement, contrairement à l’apprentissage supervisé, n’exige pas une supervision explicite pour chaque exemple de données. Au lieu de cela, l’agent apprend au travers d’interactions avec son environnement, sur la base de récompenses collectées en fonction de l’utilité de ses actions pour la tâche visée.
Cette capacité à apprendre par l’expérience rend l’apprentissage par renforcement applicable à un bien plus large spectre d’applications, et permet de connecter plus finement les objectifs d’apprentissage optimisés avec les objectifs souhaités pour le modèle résultant.

L’apprentissage par renforcement est particulièrement bien adapté aux problèmes de prise de décision séquentielle, où les actions prises à un moment donné affectent les récompenses futures. Par exemple, dans le domaine de la robotique, un robot peut apprendre à naviguer dans un environnement en effectuant des actions et en observant les récompenses associées à ces actions, telles que la distance parcourue ou la minimisation des collisions. C’est également le cas pour des problèmes de génération de données séquentielles, tels que la génération de langue par exemple, où les modèles de générations pre-appris de manière auto-supervisée à prédire le prochain mot en fonction des précédents peuvent être spécialisées pour des tâches particulières par apprentissage par renforcement, permettant de considérer des scores globaux que les séquences produites (e.g. ChatGPT a été finetuné par apprentissage par renforcement sur des préférences d’utilisateurs).

Ce cours vise à couvrir les principaux concepts et méthodes de ce paradigme d’apprentissage en pleine expansion, en mettant l’accent sur les différentes approches et leurs applications pratiques. Il pourra se structurer de la manière suivante :
1.Introduction à l’Apprentissage par Renforcement
— Comparaison avec l’apprentissage supervisé
— Processus de Décision de Markov (MDP)
— Méthodes Tabulaires de Planification
— Algorithme de Bellman
—Policy Iteration et Value Iteration

2. Méthodes basées sur des Valeurs
— Q-Learning, Sarsa
— Deep Q-Networks (DQN)

3. Apprentissage par Policy Gradient et Méthodes Actor-Critic
— Policy Gradient
— Méthodes Actor-Critic: A2C, TRPO, PPO,

4. Apprentissage Hors Politique et Méthodes pour Actions Continues
— Méthodes hors politique
— Méthodes pour actions continues (DDPG, SAC, TD3)

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Des exposés et des mini-cours seront proposés par des professionnels à la fois pour présenter le métier de data scientist mais aussi pour compléter la formation par des introductions à des thèmes de développement souvent récents.

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Les étudiants réalisent en groupe un projet annuel entre septembre et février avec une soutenance à mi-projet, sous l’encadrement d’un tuteur enseignant. La réalisation du projet s’efforcera de calquer le déroulement de la gestion de projets dans le monde socio-économique. Dans une première phase, après avoir circonscrit le problème, un cahier des charges sera réalisé et un calendrier sera défini pour la réalisation. La seconde phase du projet consistera au traitement du problème en utilisant les concepts, méthodes et outils appropriés et satisfaisants au cahier des charges. Le projet annuel met en oeuvre l’ensemble des compétences théoriques et pratiques du master, sur un thème en lien avec l’option métier.

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Cet enseignement se focalise principalement sur l’inférence de réseaux et la transcriptomique. Il a pour objectif de renforcer les compétences en analyse de données génomiques et d’introduire les réseaux biologiques.
Cet enseignement sera dispensé sous forme de CM et de TP de mise en pratique sur des données réelles. La réalisation d’un projet de traitement de données transcripto- miques et d’inférence de réseaux sera proposée à l’issue du cours.

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1 Théories microéconomiques :
— Des inégalités et des discriminations (hommes-femmes).
— De l’éducation (rendements de l’éducation ou de l’expérience), négociations collectives.
— Du choix des conditions de travail (théories des différences compensatrices, de la segmentation, et des salaires hédoniques).
— De la satisfaction au travail.

2 Passage des modèles théoriques aux modèles économétriques : fonctions de gains (Mincer, élargies aux conditions de travail…), équation de choix des conditions de travail, biais d’endogénéité et de sélection, méthodes de correction (Variables instrumentales et méthode d’Heckman de l’Inverse du Ratio de Mill), modèle à deux régimes, décomposition de Blinder-Oaxacca, de Machado-Mata, indices de satisfaction…

3 Applications sur données transversales : estimations et tests
Méthodes d’estimation : MCO, Moindres Carrés Pondérés, Moindres Carrés Généralisés, probit et logit (odd-ratios, modèles simples ou bivariés), Variables instrumentales, Heckman, estimation par quantiles, Principal Component Regression et Partial Least Squares.

4 Évaluations contrefactuelles des politiques publiques de l’emploi :
Approche expérimentale (groupe test, groupe de contrôle), différences-en-différences, score de propension, bootstrap…

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L’étudiant devra accomplir un stage en entreprise ou dans un laboratoire de recherche sur un sujet en adéquation avec les objectifs
de la formation. Pour les alternants, la période de stage s’effectue sur les périodes de l’année scolaire définies dans le calendrier ci-joint. Pour les étudiants en formation initiale, il s’agira d’un stage de 22 à 26 semaines environ, à partir de la mi-mars. Les étudiants
sont suivis par un tuteur entreprise et par un tuteur université.
Ce stage est finalisé par la rédaction d’un rapport d’une trentaine de pages et par une soutenance qui se déroule début septembre. La soutenance se déroule devant un jury constitué de membres de l’équipe pédagogique du master, en présence d’un ou plusieurs membres de la structure dans laquelle s’est déroulé le stage (possibilité de visioconférence pour ces derniers). L’évaluation prend en compte l’avis des tuteurs entreprise, la qualité scientifique et rédactionnelle du rapport ainsi que la prestation de l’étudiant lors de la soutenance, tant dans
la présentation que dans les réponses aux questions.
N.B. Les stages peuvent se prolonger jusqu’à la veille de la date de jury si nécessaire.

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Contenu :

― Espaces de Banach, complétude. Espaces de Hilbert : théorème de projection sur un convexe fermé ; dualité, théorème de représentation de Riesz ; bases hilbertiennes.
― Produit de convolution dans L1 et L2. Approximation de l’identité, densité des fonctions C-infinies et régularisation.
― Transformée de Fourier dans L1, L2 et dans l’espace S de Schwartz. Théorème d’inversion dans L1, théorème de Plancherel-Parseval et inversion dans L2, inversion dans S.
― Applications à la construction de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier) et à la résolution d’équations de convolutions et d’EDP.

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Racines de l'unité.  Polynômes cyclotomiques.  Propriétés et formules.
Polynômes symétriques.  Le théorème des fonctions symétriques.  Théorème de De Viète.  Résultant et discriminant. 
K-isomorphismes.
Lien entre l'irréductibilité dans Z[X] et dans Q[X].  Méthodes pour prouver l'irréductibilité dans Z[X]. 
Degré d'une extension de corps.
Constructions à la règle et au compas.
Corps de rupture et corps de décomposition.  Exemple du degré 3.
Corps finis (théorème de Wedderburn, dénombrement de polynômes irréductibles).
Isomorphismes d'extensions de corps et groupe de Galois. 

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Contenu :

― Changement de variables, inversion locale, fonctions implicites. Théorèmes d’immersion et de submersion. Application aux sous-variétés de Rn. Vecteurs tangents, espaces tangents.
― Courbes dans R³. Paramétrage, reparamétrage. Abscisse curviligne. Longueur d’une courbe.
― Étude locale des courbes planes et gauches : courbure, torsion, plan osculateur, repère de Frenet-Serret.
― Surfaces dans R³, paramétrages vs équations, coordonnées. Exemples.
― Étude locale des surfaces : première et seconde formes fondamentales. Applications de Gauss et de Weingarten. Courbure de Gauss. Interprétation géométrique de la courbure.
― Paramétrage conforme. Calculs d’aire. Notion d’isométrie locale. Théorème egregium.

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Contenus :

Complexité d’un algorithme ; conditionnement d’une matrice ; rayon spectral ; théorème de Schur ; systèmes linéaires, résolution directe : méthodes de Gauss,
factorisation LU et PLU, méthode de Cholesky, méthode QR ; moindres carrés ; systèmes linéaires, résolution ité-
rative : méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel, méthodes de gradient ; décompositions en valeurs propres et en valeurs singulières (SVD) : méthode de
Jacobi, méthode QR, méthode des puissances. 

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Contenu :

Programmation non-linéaire ; fonctions convexes en une et plusieurs variables ; optimisation sans contraintes ; méthode de descente de gradient ; méthode utilisant la hessienne (basée sur la méthode de Newton-Raphson pour résoudre une équation non-linéaire) ; multiplicateurs de Lagrange ; optimisation avec contraintes larges ; méthode de Karush-Kuhn-Tucker ; méthode de pénalisation (du point intérieur)

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Il s’agit de revisiter et approfondir dans un cadre historique certaines notions fondamentales acquises en licence de mathématiques ou au premier semestre de Master 1.

Le programme précis, susceptible de varier chaque année, pourra suivre l’une des options suivantes.
1- Géométries
Le programme d’Erlangen. Actions de groupes et invariants.
Le groupe des transformations euclidiennes du plan. La géométrie euclidienne (distance et, par conséquent, droites et angles)
Le groupe des similitudes et la géométrie euclidienne (droites et angles)
Le groupe des transformations affines du plan. La géométrie affine (droites)
Inversions. Faisceaux de cercles.
Le groupe des transformations circulaires (droites et cercles).
La sphère de Riemann et la liaison avec les transformations de Möbius.
Le groupe des transformations circulaires qui laissent invariant le disque. Le disque de Poincaré comme modèle de la géométrie hyperbolique.
Autres modèles pour la géométrie hyperbolique.

2- Nombres
Différents systèmes de numération dans l’histoire (babylonien, égyptien, romain,indien, etc).
Utilisation des fractions, apparition du zéro, nombres négatifs.
Les nombres réels : quantités mesurables chez les grecs, nombres irrationnels (Pythagore, Euler), constructions des nombres réels (Dedekind, Cauchy), nombres algébriques, transcendants (Liouville), dénombrabilité (Cantor).
Les nombres complexes, lien avec la résolution des équations algébriques.
Les quaternions

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Contenu :

― Compléments de théorie de la mesure : familles déterminant l’égalité de deux mesures, construction de mesures (théorème de Carathéodory, théorème de Kolmogorov), indépendance, loi du 0-1.
― Convergence physique de variables : convergence en probabilité, presque sûre, dans Lp, uniforme intégrabilité, lien entre les modes de convergence. Séries de variables indépendantes, inégalité maximale, loi des grands nombres.
― Convergence en loi : théorème de Lévy, théorème limite central.
― Loi normale multidimensionnelle, vecteurs gaussiens : fonction caractéristique, densité, théorème de Cochran, théorème limite central multidimensionnel.
― Espérance conditionnelle.
― Martingales : filtration, temps d’arrêt, théorèmes d’arrêts, théorèmes de convergence.b

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Contenu :

― Espaces métriques : topologie définie par une distance. Continuité, connexité et compacité. Complétude et point fixe.
― Espaces de fonctions continues sur un métrique. Théorème d’Ascoli et théorème de Stone-Weierstrass. Applications.
― Exemples d’espaces fonctionnels et d’opérateurs : applications linéaires continues et leurs normes, spectre d’un endomorphisme, adjoint. Espaces Ck sur un ouvert de Rn. Exemples d’opérateurs sur L2(I) où I est un intervalle. Espaces des suites lp(Z) : espaces duaux, opérateurs de décalage, lien avec les séries de Fourier quand p=2, calcul du spectre. Espace de Sobolev H1(I).

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Contenu :

Éléments de topologie pour GL(n, R) et SL(n, R) (connexité et densité des inversibles et des diagonalisables). Idem sur C.
Décomposition polaire de GL(n,R) et GL(n,C).
L’exponentielle d’une matrice carrée (diagonalisable ssi l’exponentielle l’est)
L’étude sur des exemples de l’algèbre de Lie et de l’application exponentielle dans les cas suivants,:
― GL(n) et SL(n) ; l’exponentielle de sl(2, C) dans SL(2,C) n’est pas surjective.
― SU(2) ; représentation matricielle des nombres complexes (SU(2) est la sphère S3 via les quaternions).
― SO(3) ; quaternions et rotations de l’espace,; l’algèbre de Lie so(3) et le produit vectoriel dans R3.
― Rotations de R4 et paires de quaternions. Produits directs et homomorphisme de SU(2)xSU(2) dans SO(4).
Liaison entre sous-groupes distingués et idéaux de l’algèbre de Lie (admise dans le cas général et établie pour les exemples considérés) ; application à la simplicité de SO(3), SO(n) avec n impair, et la non simplicité de SO(4).

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Représentations et actions. Représentations matricielles. G-modules et algèbre d’un groupe fini.
Réductibilité et théorème de Maschke. G-homomorphismes et le lemme de Schur.
Exemples de représentations irréductibles de S3 et de S4.
Caractères. Produit scalaire des caractères. Décomposition de l’algèbre d’un groupe fini.
Classification des représentations irréductibles de S3, S4, S5, Dn.
Représentations par restriction et représentations induites ; représentations de A4 et A5.

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― Notion de fonction holomorphe. Fonctions holomorphes et DSE. Exemples.
― Intégration sur les chemins. Primitives. Théorème de Morera. Formule de Cauchy sur un disque, inégalités de Cauchy, théorème de Liouville.
― Principe des zéros isolés.
Principe du maximum. Lemme de Schwarz.
― Homotopie de lacets. Simple connexité.
Théorème d’inversion locale. Coupures, logarithme et racines carrées. Lien avec la simple connexité.
― Fonctions méromorphes. Séries de Laurent.
Théorèmes des résidus. Application au calcul d’intégrales.
Théorème de Rouché.
― Familles normales. Théorème de Weierstrass de convergence de suites de fonctions holomorphes.

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Le projet de recherche, (PRA, aussi appelé Travaux Encadrés de Recherche - TER), est un projet réalisé tout au long du second semestre par l'étudiant en laboratoire, encadré par un enseignant-chercheur ou chercheur tuteur du LAREMA, donnant lieu à la rédaction d’un rapport et à une soutenance orale devant jury.  

Le sujet est choisi par l’étudiant dans une liste proposée par les enseignants-chercheurs et chercheurs du LAREMA. Il s’agit d’approfondir un thème particulier dans un des domaines couverts par les cours du Master 1.  

A titre d’exemple, les sujets suivants ont été proposés en 2021-2022 : Le théorème de Mordell-Weil pour les courbes elliptiques, Théorème de Bézout, Théorème de Malgrange-Ehrenpreis, La nature fractale des ensembles limite des groupes de Schottky, Sur la distribution des nombres premiers, Fonction P de Weierstrass et courbes elliptiques, Étude de quelques aspects des marches aléatoires, Bases canoniques de courbes et surfaces algébriques, Classification des surfaces compactes, Théorème de Wigner. 

Les documents d'appui sont majoritairement des textes en anglais, ce qui participe de la pratique de l'anglais scientifique.  

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Le projet de recherche, (PRA, aussi appelé Travaux Encadrés de Recherche - TER), est un projet réalisé tout au long du second semestre par l'étudiant en laboratoire, encadré par un enseignant-chercheur ou chercheur tuteur du LAREMA, donnant lieu à la rédaction d’un rapport et à une soutenance orale devant jury.  

Le sujet est choisi par l’étudiant dans une liste proposée par les enseignants-chercheurs et chercheurs du LAREMA. Il s’agit d’approfondir un thème particulier dans un des domaines couverts par les cours du Master 1.  

A titre d’exemple, les sujets suivants ont été proposés en 2021-2022 : Le théorème de Mordell-Weil pour les courbes elliptiques, Théorème de Bézout, Théorème de Malgrange-Ehrenpreis, La nature fractale des ensembles limite des groupes de Schottky, Sur la distribution des nombres premiers, Fonction P de Weierstrass et courbes elliptiques, Étude de quelques aspects des marches aléatoires, Bases canoniques de courbes et surfaces algébriques, Classification des surfaces compactes, Théorème de Wigner. 

Les documents d'appui sont majoritairement des textes en anglais, ce qui participe de la pratique de l'anglais scientifique.  

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