Calcul intégral et applications

L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Calcul intégral et applications P11 (CM, TD) et Calcul intégral et applications P12 (CM, TD)

Contenu de l'enseignement :

- Révision des techniques de calcul : intégration par parties, changement de variable, primitives des fractions rationnelles.

- Intégrale de Lebesgue :

*Dénombrabilité : ensembles équipotents, dénombrabilité de N, Z et Q, produit fini d’ensembles dénombrables, réunion dénombrable d’ensembles dénombrables.

*Intégrale des fonctions mesurables positives sur un espace mesuré quelconque : construction, linéarité, positivité, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou.

* Intégrabilité au sens de Lebesgue, ensemble négligeables, propriétés vraies presque partout, théorème de convergence dominée, espace L1, complétude, théorème de continuité et de dérivation d’une intégrale
dépendant d’un paramètre.

*Mesure et intégrale de Lebesgue sur R, lien avec l’intégrale de Riemann.

*Intégration dans les espaces produits : mesure produit, théorème de Fubini, mesure de Lebesgue sur Rn.

*Théorème de changement de variables dans Rn, systèmes de coordonnées classiques, application au calcul d’aires et de volumes.

Notions et contenus
- Intégrale de Riemann : Sommes de Riemann, intégrabilité au sens de Riemann, propriétés de l’intégrale (linéarité, positivité), caractérisation des fonctions intégrables. Théorème fondamental du calcul intégral, primitives. Intégration par parties, changement de variable, primitives des fractions rationnelles.

- Analyse - Théorie de l’intégration - Marc Briane et Gilles Pagès – Éditions De Boeck Supérieur, 2023.
- Mesure, intégration, probabilités - Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin – Éditions Ellipses 2022