M7 - Analyse 2

Programme

Suites et séries de fonctions numériques réelles : convergence simple, uniforme, normale ; critère de Cauchy de convergence uniforme ; limite uniforme d’une
suite de fonctions bornées, continues, de classes Cp ; intégration, dérivation.

Séries entières réelles ou complexes : rayon de convergence, règles de d’Alembert et de Cauchy ; développement en série entière des fonctions usuelles.

Séries entières réelles : intégration et dérivation terme à terme.

Les compétences requises sont celles du cours d’Analyse 1 du semestre 3, particulièrement celles concernant les suites et séries numériques. 

A l’issue de la formation les étudiants ou stagiaires seront en capacité :

Suites de fonctions (Temps estimé : 5 séances de cours, 7 séances de tds de 1h20) :
― de définir et d’analyser la borne supérieure d’une fonction bornée sur un intervalle;
― de définir et d’analyser la convergence simple et uniforme d’une suite de fonctions;
― d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration et de dérivation relatives aux limites uniformes de suites de fonctions;
― de définir et d’appliquer le critère de Cauchy de convergence uniforme des suites de fonctions.

Séries de fonctions (Temps estimé : 4 séances de cours, 8 séances de tds de 1h20) :
― de définir et d’analyser la convergence simple, absolue, normale et uniforme d’une série de fonctions;
― d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration et de dérivation relatifs aux séries de fonctions uniformément convergentes.

Séries entières (Temps estimé : 4 séances de cours, 7 séances de tds de 1h20) :
― de définir et de calculer le rayon de convergence d’une série entière par divers arguments dont les règles de d’Alembert et de Cauchy;
― de définir et d’analyser la convergence simple, absolue et normale d’une série entière sur un disque;
― de définir l’addition, le produit et la dérivée des séries entières, d’estimer leurs rayons de convergence.

Fonctions développables en série entière (Temps estimé : 5 séances de cours, 8 séances de tds)
― de définir le développement en série entière de fonctions classiques;
― de montrer qu’une fonction est développable ou non développable en série entière;
― de faire le lien entre le développement en série entière et les développements limités et de Taylor;
― d’appliquer les règles de dérivation et de primitivation sur les développements en série entière, en particulier dans le cadre des équations différentielles.