Analyse et Probabilités pour le CAPES

BLOC 1
Fonctions d’une variable réelle (12 séances)
Fonctions de référence (polynomiale, fonctions trigonométriques circulaires, fonction puissance, racine carrée, logarithme, exponentielle, fonctions rationnelles), fonctions trigonométriques circulaires inverses.
Parité, périodicité, limites et continuité, théorème des valeurs intermédiaires, continuité uniforme.
Dérivabilité, théorème de Rolle, inégalité des accroissements finis, approximation locale d’une fonction par une fonction affine, tangente en un point de la courbe d’une fonction, convexité.
Développements limités usuels des fonctions de référence. Dérivations itérées.
Calcul intégral et équations différentielles (12 séances)
Intégrale d’une fonction continue sur un segment, sommes de Riemann, calculs de primitives, calcul d’aires, valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.
Intégration par parties, changement de variable. Formule de Taylor avec reste intégral. Intégrales généralisées.
Équations différentielles linéaires du premier ordre, du premier ordre à variables séparables, linéaires du second ordre à coefficients constants.

BLOC 2
Nombres réels et suites réelles (8 séances)
Construction de N, Z et Q. Présentation axiomatique de R, bornes supérieure et inférieure. Valeurs approchées, nombres décimaux. Limite d’une suite réelle, théorèmes d’existence. Suites extraites. Suites récurrentes. Suites arithmético-géométriques.
Dénombrement - Probabilités (13 séances)
Cardinal d’un ensemble fini, listes, combinaisons, factorielles, formule du binôme.
Espaces probabilisés finis. Probabilités conditionnelles, conditionnement et indépendance.
Variables aléatoires sur un univers fini : lois usuelles (loi uniforme, loi binomiale), variables aléatoires indépendantes, espérance, variance et écart-type.
Variables aléatoires discrètes : espérance et variance, loi de Poisson, loi géométrique. Variables aléatoires à densité : espérance, variance. Lois uniformes, exponentielle, normale.