L3 | Parcours Préparation au CAPES Mathématiques

L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Anglais P11 (TP) et Anglais P12 (TP). 

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Algèbre linéaire et bilinéaire P11 (CM, TD) et Algèbre linéaire et bilinéaire P12 (CM, TD).

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Anglais P13 (TP) et Anglais P14 (TP). 

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Groupes P11 (CM,TD) et Groupes P12 (CM, TD).

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L'UE se compose d'une matière enseignée sur deux périodes : Géométrie affine et euclidienne P11 (CM,TD) et Géométrie affine et euclidienne P12 (CM,TD).

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BLOC 1
Fonctions d’une variable réelle (12 séances)
Fonctions de référence (polynomiale, fonctions trigonométriques circulaires, fonction puissance, racine carrée, logarithme, exponentielle, fonctions rationnelles), fonctions trigonométriques circulaires inverses.
Parité, périodicité, limites et continuité, théorème des valeurs intermédiaires, continuité uniforme.
Dérivabilité, théorème de Rolle, inégalité des accroissements finis, approximation locale d’une fonction par une fonction affine, tangente en un point de la courbe d’une fonction, convexité.
Développements limités usuels des fonctions de référence. Dérivations itérées.
Calcul intégral et équations différentielles (12 séances)
Intégrale d’une fonction continue sur un segment, sommes de Riemann, calculs de primitives, calcul d’aires, valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.
Intégration par parties, changement de variable. Formule de Taylor avec reste intégral. Intégrales généralisées.
Équations différentielles linéaires du premier ordre, du premier ordre à variables séparables, linéaires du second ordre à coefficients constants.

BLOC 2
Nombres réels et suites réelles (8 séances)
Construction de N, Z et Q. Présentation axiomatique de R, bornes supérieure et inférieure. Valeurs approchées, nombres décimaux. Limite d’une suite réelle, théorèmes d’existence. Suites extraites. Suites récurrentes. Suites arithmético-géométriques.
Dénombrement - Probabilités (13 séances)
Cardinal d’un ensemble fini, listes, combinaisons, factorielles, formule du binôme.
Espaces probabilisés finis. Probabilités conditionnelles, conditionnement et indépendance.
Variables aléatoires sur un univers fini : lois usuelles (loi uniforme, loi binomiale), variables aléatoires indépendantes, espérance, variance et écart-type.
Variables aléatoires discrètes : espérance et variance, loi de Poisson, loi géométrique. Variables aléatoires à densité : espérance, variance. Lois uniformes, exponentielle, normale.

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Période 11
Période 12
Épreuves Blanches : 4 épreuves de 4 heures chacune.

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BLOC 1
P13
P14 - 16 séances
Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Opérateurs logiques et quantificateurs. Vocabulaire de la théorie des ensembles. Applications, relations d’ordre et relations d’équivalence.
Nombres complexes
Module et argument. Racines n-ièmes de l’unité. Exponentielle complexe, trigonométrie circulaire. Applications à la géométrie plane. Équation du second degré.
Arithmétique et polynômes
Arithmétique des entiers : nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide. Sous-groupes de Ζ.
Congruences. Anneaux Z /nZ Théorème des restes chinois, petit théorème de Fermat.
Polynômes : arithmétique des polynômes à coefficients réels ou complexes. Racines.

Épreuves Blanches : 4 épreuves de 4 heures chacune. Ces épreuves tiendront lieu de CC pour l’UE

BLOC 2
P13 - P14
Fonctions de deux variables réelles 4 séances
Continuité et dérivabilité, approximation affine (formule de Taylor à l’ordre 1 ou à l’ordre 2), gradient et lignes de niveaux, équation du plan tangent, points critiques.
Courbes paramétrées 2 séances CM + 2 séances TD Séries numériques - Suites et séries de fonctions 8 séances
Séries numériques, séries à termes positifs, séries absolument convergentes, séries de référence (séries géométriques, séries de Riemann).
Suites et séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme. Théorèmes de régularité. Convergence normale des séries de fonctions. 
Séries entières, rayon de convergence. Développement en série entière des fonctions usuelles.

BLOC 3
P13 - P14  12 séances
Statistique à une variable
Caractéristiques de position (médiane, moyenne), caractéristiques de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type).
Statistique à deux variables
Point moyen d’un nuage de points, ajustement affine par la méthode des moindres carrés, coefficient de corrélation linéaire, interpolation et extrapolation.
Algorithmique
Variables, expressions, instructions conditionnelles, boucles, tableaux unidimensionnels. Expression dans un langage de programmation textuel.
Calcul numérique
Calcul approché d’intégrale, recherche de f(x) = 0, interpolation de Lagrange, pivot de Gauss.

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