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Corps et extensions de corps

  • ECTS

    6 crédits

  • Composante

    Faculté des sciences

Description

Racines de l'unité.  Polynômes cyclotomiques.  Propriétés et formules. 

Polynômes symétriques.  Le théorème des fonctions symétriques.  Théorème de De Viète.  Résultant et discriminant.  

Exemples de corps, extensions, éléments algébriques et éléments transcendants.  Polynôme irréductible d'un élément algébrique. 

K-isomorphismes. 

Lien entre l'irréductibilité dans Z[X] et dans Q[X].  Méthodes pour prouver l'irréductibilité dans Z[X].  

Degré d'une extension de corps. 

Constructions à la règle et au compas. 

Corps de rupture et corps de décomposition.  Exemple du degré 3. 

Corps finis (théorème de Wedderburn, dénombrement de polynômes irréductibles). 

Éléments primitifs.  Le théorème de l'élément primitif 

Extensions normales.  Le théorème de décomposition. 

Isomorphismes d'extensions de corps et groupe de Galois. 

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Objectifs

Savoir décomposer effectivement un polynôme symétrique en termes de fonctions symétriques élémentaires. 

Savoir résoudre des équations et des systèmes algébriques en utilisant les formules de Newton et les relations entre coefficients et racines. 

Savoir calculer le résultant et le discriminant dans des cas classiques. 

Savoir mener des calculs dans des corps finis. 

Savoir reconnaître les différents types d’extension. 

Savoir décider de la résolubilité d'une équation algébrique sur des exemples. 

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Heures d'enseignement

  • CM - Corps et extensions de corpsCours magistral27h
  • TD - Corps et extensions de corpsTravaux dirigés27h

Pré-requis nécessaires

Algèbre de licence : anneaux, idéaux, corps de fractions, polynômes, factorisation. 

 

Savoir factoriser un polynôme. Savoir appliquer l’algorithme d’Euclide dans Z et dans les anneaux de polynômes. 

Savoir identifier les propriétés d’un anneau (commutatif unitaire, factoriel, principal) et d’un idéal (premier, maximal). 

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Informations complémentaires

Sur l’espace moodle du Master MFA 

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Bibliographie

  • J. Briançon et P. Maisonobe, « Éléments d'algèbre commutative ». Ellipses (2004) 
  • J.P. Escofier, « Théorie de Galois ». Dunod (2004) 
  • I. Stewart, « Galois Theory ». Chapmann & Hall (2015) 
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