Analyse Hilbertienne

Contenu :

― Espaces de Banach, complétude. Espaces de Hilbert : théorème de projection sur un convexe fermé ; dualité, théorème de représentation de Riesz ; bases hilbertiennes.
― Produit de convolution dans L1 et L2. Approximation de l’identité, densité des fonctions C-infinies et régularisation.
― Transformée de Fourier dans L1, L2 et dans l’espace S de Schwartz. Théorème d’inversion dans L1, théorème de Plancherel-Parseval et inversion dans L2, inversion dans S.
― Applications à la construction de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier) et à la résolution d’équations de convolutions et d’EDP.

Notions et contenus :

Analyse de niveau licence de mathématiques : intégration pratique (Lebesgue), suites et séries, suites et séries de fonctions, convergence uniforme, normale, suites de Cauchy.

Algèbre linéaire et bilinéaire de niveau licence : produit scalaire, bases orthonormales, projection orthogonale, Gram-Schmidt.

Compétences :

― Savoir utiliser les théorèmes d’intégration (convergence dominée, monotone, Fubini) et les théorèmes de continuité/dérivabilité sous le signe somme.

― Savoir établir la convergence uniforme d’une suite de fonctions, la convergence normale d’une série de fonctions.

― Savoir construire des bases orthonormales et écrire des matrices de projection orthogonales en dimension finie.

Sur l’espace moodle du Master MFA 

― Savoir reconnaître parmi les espaces fonctionnels classiques les Banach et les Hilbert.
― Savoir construire des familles orthonormales et déterminer l’orthogonal d’un sous-espace en dimension infinie.
― Savoir calculer un produit de convolution simple et s’en servir pour régulariser une fonction.
― Savoir calculer une transformée de Fourier simple. Savoir décomposer une fonction périodique en série de Fourier.
― Savoir utiliser les théorèmes d’inversion pour construire des bases hilbertiennes ou résoudre des équations de convolution et des edp dans des situations simples.

• M. El Amrani, « Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels : niveau M1 ». Ellipses (2008) 
• J.M. Bony, « Cours d'Analyse - Théorie des distributions et analyse de Fourier ». Les Éditions de l'École Polytechnique (2001)