Sous-variétés, courbes et surfaces

Contenu :

― Changement de variables, inversion locale, fonctions implicites. Théorèmes d’immersion et de submersion. Application aux sous-variétés de Rn. Vecteurs tangents, espaces tangents.
― Courbes dans R³. Paramétrage, reparamétrage. Abscisse curviligne. Longueur d’une courbe.
― Étude locale des courbes planes et gauches : courbure, torsion, plan osculateur, repère de Frenet-Serret.
― Surfaces dans R³, paramétrages vs équations, coordonnées. Exemples.
― Étude locale des surfaces : première et seconde formes fondamentales. Applications de Gauss et de Weingarten. Courbure de Gauss. Interprétation géométrique de la courbure.
― Paramétrage conforme. Calculs d’aire. Notion d’isométrie locale. Théorème egregium.

Notions et contenus :

Calcul Différentiel et Géométrie Affine et euclidienne de Licence de mathématiques : théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites dans R² et R³, sous-variétés de Rn, sous-espaces affines, produit scalaire euclidien, orthogonalité.

Compétences :

― Savoir utiliser les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites dans R² et R³.
― Savoir reconnaître une sous-variété de Rn donnée par un système d’équations de rang maximal.
― Savoir écrire un sous-espace affine comme somme d’un point et d’un sous-espace vectoriel.
― Savoir calculer l’orthogonal à un sous-espace affine en un point donné.

Sur l’espace moodle du Master MFA 

― Savoir appliquer les théorèmes d’immersion et de submersion pour donner des formes locales simples d’une sous-variété.
― Savoir reparamétrer une courbe par abscisse curviligne et calculer sa longueur.
― Savoir calculer la courbure et la torsion d’une courbe et les interpréter géométriquement.
― Savoir écrire les équations de Frenet-Serret d’une courbe.
― Savoir calculer la première forme fondamentale, la deuxième forme fondamentale, la courbure et les interpréter géométriquement.
― Savoir calculer l’aire d’une surface et vérifier si un paramétrage est conforme.
― Comprendre la signification géométrique d’une isométrie locale et savoir déterminer si deux surfaces sont localement isométriques dans des cas simples.

M.P. do Carmo, « Differential Geometry of Curves and Surfaces », Dover (2016). 

S. Montiel et A. Ros, « Curves and Surfaces », AMS (2009). 

D.J. Struik, « Lectures on classical Differential Geometry », Dover (1988).