Probabilités

Contenu :

― Compléments de théorie de la mesure : familles déterminant l’égalité de deux mesures, construction de mesures (théorème de Carathéodory, théorème de Kolmogorov), indépendance, loi du 0-1.
― Convergence physique de variables : convergence en probabilité, presque sûre, dans Lp, uniforme intégrabilité, lien entre les modes de convergence. Séries de variables indépendantes, inégalité maximale, loi des grands nombres.
― Convergence en loi : théorème de Lévy, théorème limite central.
― Loi normale multidimensionnelle, vecteurs gaussiens : fonction caractéristique, densité, théorème de Cochran, théorème limite central multidimensionnel.
― Espérance conditionnelle.
― Martingales : filtration, temps d’arrêt, théorèmes d’arrêts, théorèmes de convergence.b

Notions et contenus :
Calcul Intégral et Probabilités de L3.
Analyse Hilbertienne : théorème de projection.

Compétences :
Utiliser les théorèmes de convergence, de dérivation et de changement de variable du calcul intégral.
Déterminer des lois de vecteurs aléatoires (calcul de fonctions de répartition, de fonctions caractéristiques, méthode de la fonction muette, convolution).

Sur l’espace moodle du Master MFA 

― Savoir démontrer que deux tribus ou deux mesures de probabilités sont égales.
― Connaître les différents modes de convergence et savoir mettre en oeuvre les outils et théorèmes du cours pour démontrer des convergences dans des situations classiques.
― Savoir justifier l’existence et calculer une espérance conditionnelle.
― Savoir utiliser les théorèmes de passage à la limite pour l’espérance conditionnelle.
― Reconnaître une (sous/sur) martingale, reconnaître un temps d’arrêt. Savoir établir des convergences et calculer des probabilités grâce aux théorèmes de martingales.

J.Y. Ouvrard, « Probabilités 2 ». Cassini (2009) 

P. Barbe et M. Ledoux, « Probabilités ». EDP Sciences (2007)