Analyse fonctionnelle

Contenu :

― Espaces métriques : topologie définie par une distance. Continuité, connexité et compacité. Complétude et point fixe.
― Espaces de fonctions continues sur un métrique. Théorème d’Ascoli et théorème de Stone-Weierstrass. Applications.
― Exemples d’espaces fonctionnels et d’opérateurs : applications linéaires continues et leurs normes, spectre d’un endomorphisme, adjoint. Espaces Ck sur un ouvert de Rn. Exemples d’opérateurs sur L2(I) où I est un intervalle. Espaces des suites lp(Z) : espaces duaux, opérateurs de décalage, lien avec les séries de Fourier quand p=2, calcul du spectre. Espace de Sobolev H1(I).

Notions et contenus :
Analyse au niveau licence de mathématiques : intégration pratique (Lebesgue), suites et séries de fonctions, convergence uniforme, normale, notions de topologie dans Rn. Analyse hilbertienne du premier semestre.

Compétences :
― Savoir distinguer ouverts et fermés dans Rn.
― Savoir manier la distance euclidienne.
― Savoir établir la convergence uniforme d’une suite de fonctions ou la convergence normale d’une série.
― Pour les espaces fonctionnels classiques, savoir reconnaître si ce sont des Banach.

Sur l’espace moodle du Master MFA 

― Connaître et comprendre les notions de base de la topologie (ouvert, fermé, compact, connexe) dans un espace métrique.
― Savoir démontrer le caractère complet d’un espace métrique.
― Savoir appliquer les théorèmes fondamentaux de l’analyse fonctionnelle dans des situations simples.
― Savoir calculer la norme d’applications linéaires continues.
― Savoir calculer le spectre d’un opérateur sur des exemples.
― Savoir reformuler des problèmes simples d’analyse fonctionnelle en problèmes sur des opérateurs.

V. Avanissian, « Initiation à l’analyse fonctionnelle ». PUF (1996). 

H. Brezis, « Analyse fonctionnelle. Théorie et Applications ». Dunod (2005). 

J.B. Conway, « A course in Functional Analysis ». Springer (1994). 

D. Li, « Cours d’analyse fonctionnelle avec 200 exercices corrigés ». Ellipses (2013). 

W. Rudin, « Analyse fonctionnelle ».Ediscience International (1995)